Polynom


Polynom
Po|ly|nom 〈n. 11math. Ausdruck, der aus mehr als zwei zu addierenden od. zu subtrahierenden Gliedern besteht, in der Formel a0 x 0 + a1 x 1 + a2 x 2 + ... [<grch. polys „viel“ + nomos „Anteil“]

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Po|ly|nom, das; -s, -e [zu lat. nomen = Name] (Math.):
aus mehr als zwei durch Plus- od. Minuszeichen miteinander verbundenen Gliedern bestehender mathematischer Ausdruck.

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Polynom
 
[zu lateinisch nomen »Name«] das, -s/-e, Mathematik: allgemein ein aus (reellen oder komplexen) Konstanten aij...r, den Koeffizienten des Polynoms, und Variablen x1, x2,.. ., xl gebildeter Ausdruck
 
hierin ist i + j +.. . + r der Grad des Gliedes aij...r xi1 xj2.. . xrl; der größte dieser Grade wird als Grad des Polynoms bezeichnet. Ist für alle auftretenden Glieder i + j +.. . + r = N = const., so spricht man von einem homogenen Polynom oder einer Form vom Grad N, speziell im Fall N = 1 von einer Linearform (a1x1 + a2x2 +.. . + anxn), im Fall N = 2 von einer quadratischen Form, im Fall N = 3 von einer kubischen Form. Ein Polynom vom Grad n in einer Variablen x hat die Gestalt
 
mit an ≠ 0; sind die Koeffizienten ganze Zahlen, so spricht man von einem ganzzahligen Polynom; a0 wird auch absolutes Glied genannt. Ein Polynom in einer oder mehreren Unbestimmten lässt sich stets als Funktion der entsprechenden Anzahl von Variablen auffassen; deshalb spricht man auch von (Polynomfunktionen).
 
Ein Polynom in einer Variablen mit reellen oder komplexen Koeffizienten ai besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n (nicht notwendig verschieden) komplexe Nullstellen αν (ν = 1, 2,.. ., n); es lässt sich in der Gestalt
 
darstellen (Zerlegung in Linearfaktoren). - Als zulässige Koeffizienten kann man die Elemente verschiedener Körper vereinbaren (z. B. den Körper der rationalen Zahlen). Man spricht dann z. B. von einem über einem Körper reduziblen (zerlegbaren) Polynom, wenn sich das fragliche Polynom in ein Produkt aus Polynomen niedrigeren Grades mit Koeffizienten aus demselben Körper zerlegen lässt; im anderen Fall spricht man von einem irreduziblen (unzerlegbaren) Polynom. Die Polynome über einem Körper bilden einen Polynomring.
 

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Po|ly|nom, das; -s, -e [zu lat. nomen = Name] (Math.): aus mehr als zwei durch Plus- od. Minuszeichen miteinander verbundenen Gliedern bestehender mathematischer Ausdruck.

Universal-Lexikon. 2012.